Какой сотрудник контролирующих органов может выдать предписание?

[Станислав]

может ли сотрудник одного из контролирующих органов во время проверки выдать предписание на проведение элетроизмерительных испытаний (ЭИИ)?

Конечно может.

если может, то сотрудники каких отделов ростехнадзора/инспекции по пожарной безопасности/инспекции по охране труда?

АДМИНИСТРАТИВНЫЙ РЕГЛАМЕНТ ПО ИСПОЛНЕНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЙ СЛУЖБОЙ ПО ЭКОЛОГИЧЕСКОМУ, ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМУ И АТОМНОМУ НАДЗОРУ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ ПО ОСУЩЕСТВЛЕНИЮ КОНТРОЛЯ И НАДЗОРА ЗА СОБЛЮДЕНИЕМ ТРЕБОВАНИЙ ПОЖАРНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ НА ПОДЗЕМНЫХ ОБЪЕКТАХ
4. Должностными лицами, обладающими полномочиями исполнять государственную функцию по контролю и надзору в области пожарной безопасности, являются:
4.1. В центральном аппарате Ростехнадзора:
руководитель Ростехнадзора или лицо, исполняющее его обязанности, заместители руководителя;
начальник Управления государственного горного и металлургического надзора (далее - Управление), заместители начальника Управления - начальники отделов и их заместители в составе Управления, другие должностные лица, осуществляющие функции контроля и надзора в пределах своей компетенции.
4.2. В территориальных органах Ростехнадзора:
руководители территориальных органов и их заместители;
начальники отделов в составе территориальных органов и их заместители;
главные государственные инспекторы, государственные инспекторы и другие должностные лица территориального органа, осуществляющие функции контроля и надзора в пределах своей компетенции.