Как проложить кабель в дом?

[Станислав]

Немного дополню:

Счетчик 3-х фазный Меркурий на столбе.

Кому принадлежит счётчик и почему он установлен на опоре, а не в доме во ВРУ? ПУЭ, п. 1.5.27. Счетчики должны размещаться в легко доступных для обслуживания сухих помещениях, в достаточно свободном и не стесненном для работы месте с температурой в зимнее время не ниже 0 °С.
п. 7.1.23. Перед вводами в здания не допускается устанавливать дополнительные кабельные ящики для разделения сферы обслуживания наружных питающих сетей и сетей внутри здания. Такое разделение должно быть выполнено во ВРУ или ГРЩ.

Дом на противоположной стороне проезда (5 м).

Какого проезда? Он находится в границах участка или за границей Вашей собственности?
В соответствии с пунктом 16.1. Правил технологического присоединения энергопринимающих устройств потребителей электрической энергии, объектов по производству, электрической энергии, а также объектов электросетевого хозяйства, принадлежащих сетевым организациям и иным лицам, к электрическим сетям, утвержденными Постановлением Правительства от 27.12.2004 №861, Заявители несут балансовую и эксплуатационную ответственность в границах своего участка, до границ участка заявителя балансовую и эксплуатационную ответственность несет сетевая организация, если иное не установлено соглашением между сетевой организацией и заявителем, заключенным на основании его обращения в сетевую организацию.

Планирую провести подводку в земле

Имеете право проложить кабель в земле без согласований только по территории своего участка, а за границей участка земля не принадлежит Вам и без разрешения не имеете права самостоятельно ничего планировать, не говоря уже о том, что планируете пересекать проезд.

Какой кабель, какое сечение

О марки кабеля и сечении написал Михаил_Д.

как провести в дом до распределительного щитка?

Устанавливаете на своём участке собственную опору, от ВЛ до своей опоры прокладываете кабель по тросу, далее спускаетесь по опоре до земли, защитив при этом кабель от механический повреждений при помощи металлической трубы, уголка, швеллера и т.п.
ПУЭ, п. 2.3.15. Кабельные линии должны выполняться так, чтобы в процессе монтажа и эксплуатации было исключено возникновение в них опасных механических напряжений и повреждений, для чего:
- кабели (в том числе бронированные), расположенные в местах, где возможны механические повреждения (передвижение автотранспорта, механизмов и грузов, доступность для посторонних лиц), должны быть защищены по высоте на 2 м от уровня пола или земли и на 0,3 м в земле;

Затем прокладываете бронированный кабель в земле по своему участку в газонной части как описал Михаил_Д.
Желательно ознакомиться с рабочими чертежами типового проекта А5-92 «Тяжпромэлектропроект».